金融学

伊藤积分, 利率, 固定收益, 无息债券

2019-12-29

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固定收益及衍生品

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利率和银行账户

银行存款

离散复利

\[P_i = {1\over (1+r)^i}\]

连续复利

利率为常数。当到期时间为t时，连续复利计息下的银行账户为：

\[\lim_{n\to\infty}(1+{r\over n})^{nt}=e^{rt}\]

因此，折现值为\(e^{-rt}\)

利率为随机变量。当利率是时间的函数时，短期利率为r(s)，此时银行账户为：

\[e ^{\left( \int _ { 0 } ^ { t } r ( s ) d s \right)}\]

折现值为：

\[e ^{\left( -\int _ { 0 } ^ { t } r ( s ) d s \right)}\]

现金流的折现值

假设时刻t的现金流为ci，折现值为pi，那么，未来现金流的折现值就是

\[p_1c_1+p_2c_2+…+p_nc_n\]

这个值又被称为现金流的净现值 (Net Present Value)。

一个例子是，永久年金产品(一种退休养老金产品)，每年都需要支付等量现金 c。如果假定贴现利率为 r，并按连续复利计算贴现之后，所有未来现金流的净现值将成为

\[c e ^ { - r } + c e ^ { - 2 r } + \cdots + c e ^ { - n r } + \cdots = \frac { c e ^ { - r } } { 1 - e ^ { - r } }\]

在离散复利计息条件下，永久年金净现值为

\[\sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { c } { ( 1 + r ) ^ { k } } = \frac { c } { r }\]

债券

无息债

当期价格即连续复利下的折现值，注意当利率是随机变量时，要取期望。

\[B ( 0 , t ) = E \left( e ^ { - \int _ { 0 } ^ { t } r ( s ) d s } \right) = e ^ { - r ( 0 , t ) t }\]

问：为什么不取期望的倒数？而是倒数的期望？

收益率

名义收益率：即每年的利息率
当期收益率：利息率/实际交易价格
到期收益率：即令现金流的净现值等于今天价格的利率（就是复利下的利率，注意最后一期要加上本金的折现）。它的含义是假设以后任何时候收到的现金都可以以同样的利率再投资，直到把本金完全收回为止。

一个平价债券，有：

\[1 = \frac { r } { ( 1 + r ) } + \frac { r } { ( 1 + r ) ^ { 2 } } + \cdots + \frac { 1 + r } { ( 1 + r ) ^ { n } }\]

这个等式就说明一个平值债券的到期收益率就等于其名义收益率也等于其表面利率。据此也容易看出来，在债券价格小于面值时，到期收益率大于票面利息，在债券价格大于面值时，到期收益率小于票面利息。

久期和凸性

久期：如果回报率变化，债券价格会怎么变化？

定义一个价格关于回报率的函数（即债券价格与到期收益率的关系）：

\[f(r) = e ^ { - r t _ { 1 } } c _ { 1 } + e ^ { - r t _ { 2 } } c _ { 2 } + \cdots + e ^ { - r t _ { n } } c _ { n }\]

则久期为：

\[-{f^{'}(r)\over f(r)}=\frac { t _ { 1 } e ^ { - r t _ { 1 } } c _ { 1 } + t _ { 2 } e ^ { - r t _ { 2 } } c _ { 2 } + \cdots + t _ { n } e ^ { - r t _ { n } } c _ { n } } { e ^ { - r t _ { 1 } c _ { 1 } + e ^ { - r t _ { 2 } } c _ { 2 } + \cdots + e ^ { - r t _ { n } c _ { n } } } }\]

凸性为：

\[\frac { 1 } { 2 } {f ^ { \prime \prime }( r )\over f(r)}\]

\[\triangle P/P={f^{'}(r)\over f(r)}\triangle r +{1\over2} {f ^ { \prime \prime }( r )\over f(r)} \times (\triangle r)^2\]

可以看出，这就是泰勒展开的变体（注意，如果直接给出久期，那么需要加个负号才能用）。

无息债券的久期就是债券的到期时间。这也是久期这个名词的来历之一。但是当债券不是一个无息债券的时候，显然，久期不等于债权到期的时间。实际上，因为有息债券也可以看成是许多无息债券的组合，所以有息债券的久期其实是所有的这些无息债券的久期的加权平均。无息债券的凸性就是到期时间的平方。

债券价格转换

\[\left( \begin{array} { c } { P _ { 1 } } \\ { P _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { P _ { 10 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c c } { 1 + c _ { 1 } } & { } & { } & { } \\ { c _ { 2 } } & { 1 + c _ { 2 } } & { } & { } \\ { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } \\ { c _ { 10 } } & { c _ { 10 } } & { \cdots } & { 1 + c _ { 10 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { B _ { 1 } } \\ { B _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { B _ { 10 } } \end{array} \right)\]

一旦有了无息债券的价格，平价债券的息票信息也一样可以得到。因为平价债券的价格是 1，假设它的息票为 c，那么应该有方程

\[1 = c \cdot B _ { 1 } + c \cdot B _ { 2 } + \cdots ( 1 + c ) B _ { 10 }\]

所以得到

\[c = \frac { 1 - B _ { 10 } } { B _ { 1 } + B _ { 2 } + \cdots + B _ { 10 } }\]

无套利条件

债券无套利的充分必要条件是所有无息债券价格满足：

\[0 < B(0, T)< 1\]

同时函数\(B(0,T)\)按照时间递减。

即期收益率曲线

无息债券的到期收益率就是即期收益率，为

\[\sqrt[n]{ {100\over P_0}-1}\]

设 Y(t,T)是到期收益率，r(s)是短期利率函数，首先我们有：

\[B ( t , T ) = e ^ { - Y ( t , T ) ( T - t ) }\]

求导得：

\[\begin{aligned} \frac { \partial } { \partial T } B ( t , T ) = - B ( t , T ) \left( Y _ { T } ( t , T ) ( T - t ) + Y ( t , T ) \right) \end{aligned}\]

其中\(Y_T(t,T)\)是\(Y(t,T)\)对T求导的意思

从而：

\[\lim _ { t \rightarrow T } \frac { \partial } { \partial T } B ( t , T ) = - Y ( t , t )\]

将连续复利随机变量函数代入，有：

\[B ( t , T ) = E ( e ^ { - \int _ { t } ^ { T } r ( s ) d s } )\]

求导得：

\[\begin{aligned} \frac { \partial } { \partial T } B ( t , T ) & = E \left( - r ( T ) e ^ { - \int _ { t } ^ { T } r ( u ) d u } | \mathscr { F } _ { t } \right) \end{aligned}\]

从而：

\[\lim _ { T \rightarrow t } \frac { \partial } { \partial T } B ( t , T ) = - r ( t )\]

从而我们有\(r ( t ) = Y ( t , t )\)

这就说明了短期利率和即期利率之间的关系。简单说，从无息债券价格中，我们有不同到期时间的即期的利率曲线。即期利率曲线的时间趋向于零就是短期瞬时利率。

利率远期

商品和股票远期合同

\(S_T\)是市价，K是执行价格，则

\[远期收益 =S_T-K\]

远期在初始点是没有现金流的，交易双方都不会给对方任何的现金作为购买远期的费用。这是因为在初始点远期合约是公平的，其公平性隐涵于远期的价格 FT（\(F_T=K\)）上。这个价格是交易市场交易的结果，并不是人为制定的。

一般的远期合同是签订合同的一方向另一方支付抵押金，抵押金的金额由市场的变化程度和方向来决定。比如签订合约后第二天，市场价格对乙方有利，那么甲方要向一方支付抵押金，其目的是为了减少由于信誉带来的风险。

远期的交易价格原理

如果简单复利利率是 r，股票或者股票指数的现值是 S0，它们的在时刻 0 交易的关于时间 T 的远期价格都将是

\[F _ { T } = S _ { 0 } ( 1 + r T )\]

如果等式不成立，那么就会存在套利（Arbitrage）机会，市场行为会使远期价格回归到无套利价格。这个等式有以下假定条件：

(1)股票交易是没有成本的；(2)卖空是可能的而且不需追加费用；(3)借出与借入的利息是一致的；(4)所有的参与交易者之间没有任何信用风险。

农产品和自然资源远期就并不满足这些假定。因为首先农产品对于交割物有具体要求。第二，一般也无法卖空玉米、谷类、石油的。最后我们长时间贮存这些商品也会增加开支。所以不满足上述等式。

利率远期合同

甲方付远期浮动利率r，乙方付固定利率K。如何求K？现金流复制

第一类合同与复制

则有

\[K=\frac { B ( t , T ) - B ( t , T + \Delta T ) } { B ( t , T + \Delta T ) \Delta T }\]

第二类合同与复制

远期利率合约中的利率在时刻 T 才能够从市场上得到，同时利用无息债券价格的记号就是

\[r = \frac { 1 - B ( T , T + \Delta T ) } { B ( T , T + \Delta T ) \Delta T }\]

这个利率在远期利率合约中被交换，但是要在时刻\(T + \Delta T\)完成，交换的现金流为：

\[(r-K)\Delta T\]

如果我们把这个现金流折现到时刻 T ，那么就是

\[B ( T , T + \Delta T ) ( r - K ) \Delta T = 1 - B ( T , T + \Delta T ) - K B ( T , T + \Delta T ) \Delta T\]

注意到这个等式右边可以看成为可以交易债券的组合。这些债券分别是时刻 T 到期和时刻\(T + \Delta T\)到期的无息债券的价格。为了构造这些现金流在时刻 T 的价值，我们应该在时刻 t 就构造这些债券组合，它们的价格在时刻 t 的值就是

\[B ( t , T ) - B ( t , T + \Delta T ) - K B ( t , T + \Delta T ) \Delta T\]

为了让这个价格为零，所以我们应该有：

\[K = \frac { B ( t , T ) - B ( t , T + \Delta T ) } { B ( t , T + \Delta T ) \Delta T }\]

利率掉期

一个三月一付的合约，合约签订开始的当天，三个月的 LIBOR 就得以确定，但是支付却需要等待三个月以后。这点很重要

利率掉期曲线

我们假定每次 LIBOR 的利率分别是\(L _ { 1 } , L _ { 2 } , \ldots , L _ { n }\)

其中 Li 是跨越 i-1 到 i 年的 LIBOR 利率（浮动端），K是固定利率。那么未来浮动利率和互换到期时的本金折现值为：

\[\frac { L _ { 1 } } { 1 + L _ { 1 } } + \frac { L _ { 2 } } { \left( 1 + L _ { 1 } \right) \left( 1 + L _ { 2 } \right) } + \cdots + \frac { 1 + L _ { n } } { \left( 1 + L _ { 1 } \right) \cdots \left( 1 + L _ { n } \right) } = 1\]

既然利率掉期是不用支付费用的合约，所以在利率掉期进入的那一刻，固定利率部分现金流的折现值也应该是本金那么多。这样就得到了一个重要的信息：即一个n年到期的利率掉期的固定利率就是一个平价债券的利息。

\[K \left( B \left( t , t _ { 1 } \right) + \cdots + B \left( t , t _ { n } \right) \right) + B \left( t , t _ { n } \right) = 1\]

这样就有：

\[K = \frac { 1 - B \left( t , t _ { n } \right) } { B \left( t , t _ { 1 } \right) + \cdots + B \left( t , t _ { n } \right) }\]

如从\(t_{i-1}\)到 ti 的天数是\(\beta \left( t _ { i - 1 } , t _ { i } \right)\)，则有：

\[K = \frac { 1 - B \left( 0 , t _ { n } \right) } { \beta \left( t _ { 0 } , t _ { 1 } \right) B \left( 0 , t _ { 1 } \right) + \beta \left( t _ { 1 } , t _ { 2 } \right) B \left( 0 , t _ { 2 } \right) + \cdots + B \left( 0 , t _ { n } \right) \beta \left( t _ { n - 1 } , t _ { n } \right) }\]

利率远期掉期

即利率掉期不在当前就进行互换，而是像远期一样到一定时间点才互换

合同规定，现在时间点为0，在未来的时间点 t0 可以进入一个时间在 tn 结束的利率掉期。这个利率掉期在未来时间 t0 开始，固定的利率为 K。这个利率称为远期利率掉期利率。

在今天给出来完整的利率曲线以及折现值B(0,t) 以后，我们来计算出远期利率掉期利率的合理价值。首先浮动端我们使用利率互换来替代（见利率远期一节），t0时刻价值为1，折现到今天为\(B(0,t_0)\)

\[\sum _ { i = 1 } ^ { n } B \left( 0 , t _ { i } \right) \frac { B \left( 0 , t _ { i - 1 } \right) - B \left( 0 , t _ { i } \right) } { B \left( 0 , t _ { i } \right) }+B(0,t_n) = B \left( 0 , t _ { 0 } \right)\]

因为所有的固定端的现金流价值总和加上最后的面值是

\[K \beta \left( t _ { 0 } , t _ { 1 } \right) B \left( 0 , t _ { 1 } \right) + \cdots + K \beta \left( t _ { n - 1 } , t _ { n } \right) B \left( 0 , t _ { n } \right) + B \left( 0 , t _ { n } \right)\]

这样一来，我们看到远期利率掉期的利率为

\[K = \frac { B \left( 0 , t _ { 0 } \right) - B \left( 0 , t _ { n } \right) } { \beta \left( t _ { 0 } , t _ { 1 } \right) B \left( 0 , t _ { 1 } \right) + \cdots + \beta \left( t _ { n - 1 } , t _ { n } \right) B \left( 0 , t _ { n } \right) }\]

随机过程和 Itô 引理

期望与方差

期望性质

\[E(X_1+X_2)=E(X_1)+E(X_2)\]

方差

\[D ( X ) = E \left[ ( X - E ( X ) ) ^ { 2 } \right]\]

\[D ( X ) = E \left( X ^ { 2 } \right) - [ E ( X ) ] ^ { 2 }\]

\[\boldsymbol { D } ( \boldsymbol { a } \boldsymbol { \xi } + \boldsymbol { b } ) = \boldsymbol { a } ^ { 2 } \boldsymbol { D } \boldsymbol { \xi }\]

协方差

\[cov(x,y)=E [ ( X - E ( X ) ) ( Y - E ( Y ) ) ]=E(XY)-E(X)E(Y)\]

\[cov（x+y,z）=cov(x,z)+cov(y,z)\]

\[D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y ) + 2 \operatorname { Cov } ( X , Y )\]

相关系数

\[r ( X , Y ) = \frac { \operatorname { Cov } ( X , Y ) } { \sqrt { \operatorname { D } [ X ] \operatorname { D } [ Y ] } }\]

布朗运动

过程 M是对称随机游动 ，定义

\[W _ { t } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { \sqrt { n } } M _ { [ n t ] } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { \sqrt { t } } { \sqrt { n t } } M _ { [ n t ] }\]

为布朗运动。\([nt]\)表示不超过 nt 的最大整数。布朗运动是一个期望为0、方差为t的正态随机变量。

对任意的\(r\le s\)，均有\(W _ { t } - W _ { s }\)独立于\(W_r\)，且前者是期望为0、方差为t-s的正态随机变量。

布朗运动有以下性质：

性质1

s<t

\[\begin{aligned} E \left( W _ { s } W _ { t } \right) & = E \left( W _ { s } \left( W _ { t } - W _ { s } \right) + W _ { s } ^ { 2 } \right) \\ & = E \left( W _ { s } \right) \cdot E \left( W _ { t } - W _ { s } \right) + E \left( W _ { s } ^ { 2 } \right) \\ & = 0 + V \left( W _ { s } \right) \\ & = s \end{aligned}\]

其中，第二个等式利用了 Ws 和 Wt-Ws 的独立性。

推广：

\[cov(W_s,W_t)=cov(W_s,W_s+(W_t-W_s))\\=cov(W_s,W_s)+cov(W_s,W_t-W_s)\\=D(W_s)+E(W_s(W_t-W_s))\\=s\]

因而有\(cov(W_s,W_t)=min\{s,t\}\)，\(E(W_sW_t)=min\{s,t\}\)

性质2

对于任意一个连续函数\(f(t)\)，它的二次变差为：

\[\sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } \left[ f \left( t _ { i + 1 } \right) - f \left( t _ { i } \right) \right] ^ { 2 }\]

W 为布朗运动，那么对几乎所有的 T > 0，有\([ W , W ] ( T ) = T\)，即任何时刻布朗运动的二次变差为T。

Itô 积分

设\(\Delta ( t )\)为相适应的随机过程，则Itô 积分可定义为：

\[I ( t ) = \int _ { 0 } ^ { t } \Delta ( u ) d W ( u )\]

性质

Itô 积分有以下性质：

定理 1-伊藤公式 如果\(\Delta ( t )\)对 t 是平方可积的，Itô 积分满足

\[Var(I(t))=E \left( I ^ { 2 } ( t ) \right) = E \left( \int _ { 0 } ^ { t } \Delta ^ { 2 } ( u ) d u \right)\]

定理2 如果\(\Delta ( t )\) 对 t 是平方可积的，那么 Itô 积分是鞅。且\(E(I(t))=0\)

定理3 时刻 t 的二次变差可以通过积分得到

\[[ I , I ] ( t ) = \int _ { 0 } ^ { t } \Delta ^ { 2 } ( u ) d u\]

伊藤引理

\[f(W_t)=f(0)+\int_0^Tf^{'}(W_t)dW_t+\int_0^Tf^{'}(t)dt+{1\over 2}\int_0^Tf^{''}(W_t)d_t\]

\[df={\partial f\over \partial W_t}dW_t+{\partial f\over \partial t}dt+{1\over 2}{\partial^2 f \over \partial W^2_t}dt\]

例子

例1

\[df=Adt+BdW_t\]

则

\[f=f(0)+At+BW_t\]

例2

\[df=A(t)dt+B(t)dW_t\]

则

\[f=f(0)+\int_0^tA(s)ds+\int_0^tB(s)dW_s\]

几何布朗运动：\(d S = \mu S d t + \sigma S d W\)

为了解这个方程，我们需要利用 Itô 引理，对 log S 微分,

\[\begin{aligned} d \log S & = \frac { 1 } { S } d S - \frac { 1 } { 2 S ^ { 2 } } d S d S \\ & = \mu d t + \sigma d W - \frac { 1 } { 2 } \sigma ^ { 2 } d t \\ & = \left( \mu - \frac { 1 } { 2 } \sigma ^ { 2 } \right) d t + \sigma d W \end{aligned}\]

\(dW*dt\)和\(dW^2\)都是无穷小量，可以略去

于是，我们有

\[\log S _ { t } = \log S _ { 0 } + \left( \mu - \frac { 1 } { 2 } \sigma ^ { 2 } \right) t + \sigma W _ { t }\]

去掉对数符号，则有

\[S _ { t } = S _ { 0 } \exp \left( \left( \mu - \frac { 1 } { 2 } \sigma ^ { 2 } \right) t + \sigma W _ { t } \right)\]

我们看到解在任何时刻的对数是一个正态分布，所以我们又称 St 为对数正态分布。

例4：\(d r = ( \alpha - \beta r ) d t + \sigma d W _ { t }\)

这个过程通常用来模拟利率过程。为了解这个方程，我们考虑

\[\begin{aligned} d \left( e ^ { \beta t } r \right) & = \beta e ^ { \beta t } r d t + e ^ { \beta t } d r \\ & = \beta e ^ { \beta t } r d t + e ^ { \beta t } ( \alpha - \beta r ) d t + \sigma e ^ { \beta t } d W _ { t } \\ & = \alpha e ^ { \beta t } d t + \sigma e ^ { \beta t } d W _ { t } \end{aligned}\]

这样我们就可以给出一个解：

\[\begin{aligned} e ^ { \beta t } r ( t ) & = r ( 0 ) + \int _ { 0 } ^ { t } \alpha e ^ { \beta s } d s + \int _ { 0 } ^ { t } \sigma e ^ { \beta s } d W _ { s } \\ & = r ( 0 ) + \frac { \alpha } { \beta } \left( e ^ { \beta t } - 1 \right) + \int _ { 0 } ^ { t } \sigma e ^ { \beta s } d W _ { s } \end{aligned}\]

于是有

\[r ( t ) = e ^ { - \beta t } r ( 0 ) + \frac { \alpha } { \beta } \left( 1 - e ^ { - \beta t } \right) + \int _ { 0 } ^ { t } \sigma e ^ { \beta ( s - t ) } d W _ { s }\]

因为 Itô 积分

\[\int _ { 0 } ^ { t } \sigma e ^ { \beta ( s - t ) } d W _ { s }\]

是个正态分布，我们知道 r(t)必然也是个正态分布，并且根据定理3,

\[\begin{aligned} E ( r ( t ) ) & = e ^ { - \beta t } r ( 0 ) + \frac { \alpha } { \beta } \left( 1 - e ^ { - \beta t } \right) \\ V ( r ( t ) ) & = \int _ { 0 } ^ { t } \sigma ^ { 2 } e ^ { 2 \beta ( s - t ) } d s = \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 \beta } \left( 1 - e ^ { - 2 \beta t } \right) \end{aligned}\]

BDT模型

理论基础

在 BDT 模型下，短期利率 rt 满足下面的过程

\[d \log r _ { t } = \theta ( t ) d t + \sigma d W _ { t }\]

其中\(\theta(t)\)是一个依赖于时间 t 的函数。方程的解为：

\[r ( t ) = r ( 0 ) e ^ { \int _ { 0 } ^ { t } \theta ( s ) d s + \sigma W _ { s } } = U ( t ) e ^ { \sigma W _ { t } }\]

其中函数 U(t)满足常微分方程

\[\frac { d \log U ( t ) } { d t } = \theta ( t )\]

过程

1、设定一行初始的 U(t)与固定的sigma

2、种BDT利率树

一般来说，短期利率r在第n步上一共有n+1个节点，他们记号分别是r(n，0)，r(n，1)，…，r(n,n)，而且满足马尔可夫条件，他们分别是

\[\left\{ \begin{array} { c c c } { r ( n , n ) } & { = } & { U ( n ) e ^ { n \sigma \sqrt { \Delta t } } } \\ { r ( n , n - 1 ) } & { = } & { U ( n ) e ^ { ( n - 2 ) \sigma \sqrt { \Delta t} } } \\ { } & { \vdots } & { } \\ { r ( n , 0 ) } & { = } & { U ( n ) e ^ { - n \sigma \sqrt { \Delta t } } } \end{array} \right.\]

3、构造Debrew 折现值树

\[\left\{ \begin{array} { l } { D ( n , n ) = \frac { 1 } { 2 } \frac { D ( n - 1 , n - 1 ) } { 1 + r ( n - 1 , n - 1 ) \Delta t } } \\ { D ( n , j ) = \frac { 1 } { 2 } \frac { D ( n - 1 , j - 1 ) } { 1 + r ( n - 1 , j - 1 ) \Delta t } + \frac { 1 } { 2 } \frac { D ( n - 1 , j ) } { 1 + r ( n - 1 , j ) \Delta t } } \\ { D ( n , 0 ) = \frac { 1 } { 2 } \frac { D ( n - 1,0 ) } { 1 + r ( n - 1,0 ) \Delta t } } \end{array} \right.\]

4、与真实折现值对比

\[\sum _ { j = 0 } ^ { n } D ( n , j ) = p ( n )\]

一一使之相等，即可确认U(n)。就可以得到完整的 BDT 树同时也就得到相应的 Debrew 树。

CAP和Floor

对于一个利率的顶（CAP），比如一个在时间iΔt到期的跨越（i+1）Δt的短期利率看涨期权，行权价在K的定价就可以计算成为

\[\sum _ { j = 0 } ^ { i } D ( i , j ) \frac { ( r ( i , j ) - K ) ^ { + } \Delta t } { 1 + r ( i , j ) \Delta t }\]

底的话，即

\[\sum _ { j = 0 } ^ { i } D ( i , j ) \frac { (K-r ( i , j )) ^ { + } \Delta t } { 1 + r ( i , j ) \Delta t }\]

其中，cap和floor与波动率sigma无关，但是cap-floor与sigma有关

Hull-White模型

理论基础

短期利率满足以下过程

\[d r ( t ) = ( \theta ( t ) - a r ( t ) ) d t + \sigma d W _ { t }\]

常数a显然和r的收敛速度相关，常数波动率σ代表了r的波动。时间函数θ(t)是为用于拟合初始利率曲线使用的。为了简化推导，我们先来研究

\[d x ( t ) = - a x ( t ) d t + \sigma d W _ { t }\qquad(1.1)\]

类似ito积分例4，解得：

\[x ( t ) = e ^ { - a \left( t - t _ { 0 } \right) } x \left( t _ { 0 } \right) + \sigma \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } e ^ { - a ( t - s ) } d W _ { s }\qquad(1.2)\]

像以前一样，我们得到

\[E \left( x ( t ) | \mathcal { F } \left( t _ { 0 } \right) \right) = e ^ { - a \left( t - t _ { 0 } \right) } x \left( t _ { 0 } \right)\qquad(1.3)\\V \left( x ( t ) | \mathcal { F } \left( t _ { 0 } \right) \right) = \sigma ^ { 2 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } e ^ { - 2 a ( t - s ) } d s = \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 a } \left( 1 - e ^ { - 2 a \left( t - t _ { 0 } \right) } \right)\qquad(1.4)\]

进一步积分

\[\int_{t_0}^Tx(s)ds=\int_{t_0}^Te^{-a(s-t_0)}x(t_0)ds+\sigma\int_{t_0}^T\int_{t_0}^se^{-a(s-u)}dW_uds\\=x(t_0){1-e^{-a(T-t_0)}\over a}+\sigma\int_{t_0}^T\int_u^T e^{au}e^{-as}dsdW_u\\=\frac { 1 - e ^ { - a ( T - t_0 ) } } { a } x ( t_0 ) + \frac { \sigma } { a } \int _ {t_0} ^ { T } 1 - e ^ { - a ( T - u ) } d W _ { u }\]

双重积分交换次序，画图即可解决

我们看到

\[E \left( \int _ { t_0 } ^ { T } x ( s ) d s | \mathcal { F } ( t ) \right) = \frac { 1 - e ^ { - a ( T - t_0 ) } } { a } x ( t_0 )\]

和

\[\begin{aligned} V \left( \int _ { t_0 } ^ { T } x ( s ) d s | \mathcal { F } ( t ) \right) & = \frac { \sigma ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \int _ { t_0 } ^ { T } \left( 1 - 2 e ^ { - a ( T - s ) } + e ^ { - 2 a ( T - s ) } \right) d s \\ & = \frac { \sigma ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \left( T - t_0 - \frac { 3 } { 2 a } + \frac { 2 } { a } e ^ { - a ( T - t_0 ) } - \frac { 1 } { 2 a } e ^ { - 2 a ( T - t_0 ) } \right) \\ & = V ( t_0 , T ) \end{aligned}\]

为了拟合初始的折现值，我们现在加上漂移项θ(t）我们假设

\[r ( t ) = x ( t ) + \theta ( t )\]

一般的对于一个正态分布 X，我们都有

\[E \left( e ^ { X } \right) = e ^ { E ( X ) + \frac { 1 } { 2 } V ( X ) }\\E \left( e ^ { -X } \right) = -e ^ { E ( X ) + \frac { 1 } { 2 } V ( X ) }\]

这样折现值就成为

\[\begin{aligned} P ( t_0 , T ) & = \mathrm { E } \left( e ^ { - \int _ { t_0 } ^ { T } x ( s ) d s } | \mathcal { F } ( t_0 ) \right) e ^ { - \int _ { t_0 } ^ { T } \theta ( s ) d s } \\ & = e ^ { - \int _ { t_0 } ^ { T } \theta ( s ) d s } e ^ { - x ( t_0 ) C ( t_0 , T ) + \frac { 1 } { 2 } V ( t_0 , T ) } \end{aligned}\qquad(1.5)\]

其中

\[C ( t_0 , T ) = \frac { 1 - e ^ { - a ( T - t_0 ) } } { a }\]

接下来求\(e ^ { - \int _ { t } ^ { T } \theta ( s ) d s }\)，比较初始的利率曲线，

\[\begin{aligned} P ^ { M } ( 0 , T ) & = e ^ { - \int _ { 0 } ^ { T } \theta ( s ) d s + \frac { 1 } { 2 } V ( 0 , T ) } \\ P ^ { M } ( 0 , t ) & = e ^ { - \int _ { 0 } ^ { t } \theta ( s ) d s + \frac { 1 } { 2 } V ( 0 , t ) } \end{aligned}\]

我们看到

\[e ^ { - \int _ { t } ^ { T } \theta ( s ) d s } = \frac { P ^ { M } ( 0 , T ) } { P ^ { M } ( 0 , t ) } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } ( V ( 0 , T ) - V ( 0 , t ) ) }\]

代入式（1.5），最后我们有

\[P ( t , T ) = \left( \frac { P ^ { M } ( 0 , T ) } { P ^ { M } ( 0 , t ) } \right) \exp \left( - x ( t ) C ( t , T ) + \frac { 1 } { 2 } ( V ( t , T ) + V ( 0 , t ) - V ( 0 , T ) ) \right)\]

下面不知道有什么用

同时求导以后也有

\[\theta ( t ) = - \frac { 1 } { 2 } V ^ { \prime } ( 0 , t ) + f ( 0 , t )\]

这里f（0，t）是利率的远期。

模拟

1、根据式（1.3）式（1.4）生成相应的随机变量\(x_k\)，其中\(x_0=0\)

\[x_k=-ax_kdt+\sigma dW_t\qquad(2.1)\]

2、生成\(\int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } x _ { s } d s\)，因为

\[\begin{aligned} \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } x ( s ) d s & = \frac { 1 - e ^ { - a \Delta t } } { a } x _ { k - 1 } + \frac { \sigma } { a } \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \left( 1 - e ^ { - a \left( t _ { k } - t \right) } \right) d W _ { t } \\ & = \frac { 1 - e ^ { - a \Delta t } } { a } x _ { k - 1 } + \frac { \sigma } { a } \left( W _ { t _ { k } } - W _ { t _ { k - 1 } } \right) - \frac { \sigma } { a } \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } e ^ { - a \left( t _ { k } - t \right) } d W _ { t } \end{aligned}\]

所以需要生成两个变量，一个是\(\Delta W_t\)，一个是\(\int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } e ^ { - a \left( t _ { k } - t \right) } d W _ { t }\)，他们两个是有相关性的，为此计算下面的期望

\[\begin{array} { l } { E \left( \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } e ^ { - a \left( t _ { k } - s \right) } d W _ { s } , W _ { t _ { k } } - W _ { t _ { k - 1 } } \right) } \\ { = E \left( \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } e ^ { - a \left( t _ { k } - s \right) } d W _ { s } , \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } d W _ { s } \right) } \\ { = \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } e ^ { - a \left( t _ { k } - s \right) } d s } \\ { = \frac { 1 } { a } \left( 1 - e ^ { - a \left( t _ { k } - t _ { k - 1 } \right) } \right) } \end{array}\]

上式即求出了二者的协方差，布朗运动差分的方差是\(\Delta t\)，积分的方差也好求（命名为\(Var(int)\)），自行推导，根据这些数据我们就可以进行Cholesky分解

\[ \begin{pmatrix} \sqrt{\Delta t} & \sqrt{corr} \\ 0 & \sqrt{Var(int)-corr^2} \end{pmatrix} \]

生成两个正态分布\(Z_1,Z_2\)，\(\Delta W_t\)为\(\sqrt{\Delta t}*Z_1\)，积分为\(\sqrt{corr}*Z_1+\sqrt{Var(int)-corr^2}*Z_2\)

3、生成\(P \left( t _ { k - 1 } , t _ { k } \right)\)，由下面公式得出：

\[P \left( t _ { k - 1 } , t _ { k } \right) = e^{-\int_{t_{k-1}}^{t_k}x(t)dt}·e^{-\int_{t_{k-1}}^{t_k}\theta(t)dt}\\=e ^ { - \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } x ( t ) d t } \frac { P ^ { M } \left( 0 , t _ { k } \right) } { P ^ { M } \left( 0 , t _ { k - 1 } \right) } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \left( V \left( 0 , t _ { k } \right) - V \left( 0 , t _ { k - 1 } \right) \right) }\]

4、求期望。

各类衍生品计算

无息债券的看涨期权

求一个到期日是 10 年的、在第 5 年到期的无息债券的看涨期权价格。

根据利率曲线（各年无息债券价格），利用远期利率公式，求出远期利率，有了远期利率，就可以求出远期折现值

就可以求出无息债券折现到第五年的市场价格：\(B(5,6)*B(6,7)*…B(9,10)\)

同样地，利用拟合结果（P是拟合的无息债价格），算出无息债券折现到第五年的模拟价格，\(期权价格=max\{模拟价格-实际价格,0\}\)，然后再折现到今天（乘以模拟Pm(0,5)），生成100条路径进行拟合，求出期望即可

这里的实际价格其实是行权价格K，模拟价格是第5年可能的市场价格S

看跌期权

\[max\{实际价格-模拟价格,0\}\]

可赎回债券

可赎回债券亦称“可买回债券”，是指发行人有权在特定的时间按照某个价格强制从债券持有人手中将其赎回的债券，可视为是债券与看涨期权的结合体。在市场利率跌至比可赎回债券的票面利率低得多的时候，债务人如果认为将债券赎回并且按照较低的利率重新发行债券，比按现有的债券票面利率继续支付利息要合算，就会将其赎回。

计算到期日是 10 年的、票面利率为c的、可以按照本金在第 5 年赎回的债券的价格。

首先，算出拟合的P(5,t)，（6<t<=10），因为每年派息c，所以将每年的利息加上最后还本1折现到第五年，即

\[D=c·\sum_6^{10}P(5,t)+P(5,10)\]

如果D大于1，债券发行人就会以1元价格赎回，小于1不赎回，即第五年该债券价格为\(min\{D,1\}\)。最后折现到今天（乘以模拟Pm(0,5)），注意，前五年同样有c的利息，也要一一折现，

可回售债券

可回售债券亦称“卖回债券”。允许投资者以事先规定的价格将债券提前回售给发行人权利的债券。一般出现在利率上升、债券价格下降的时候。投资者持有的回售权是在标的价格下跌时出售标的资产的权利，所以它是看跌期权。在存在回售条款的情况下，投资者有权根据设定的价格出售债券，这将限制投资者因为利率上升而遭受的损失。

\(max\{D,1\}\)