经济学国际贸易

H-O模型, Rybczynski Theorem, Stolper-Samuelson Theorem, 要素, 要素价格均等化定理, 里昂惕夫之谜

2019-10-24

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02H-O模型

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直观的方法

假设

两种商品：X1和X2
两种要素：V1和V2，\(V_{ij}\)是产品i所需要使用的要素j数量

\[X_1=F_1(V_{11},V_{12}) \quad X_2=F_2(V_{21},V_{22})\]

\[\overline V_1 = V_{11}+V_{21} \quad \overline V_2 = V_{12}+V_{22} \qquad (1)\]

即：第一个下标代表产品，第二个下标代表要素

两个国家：h和f

\[{V_{11} \over V_{12} } >{V_{21} \over V_{22} } \quad and \quad { {\overline V_{h1} } \over {\overline V_{h2} }} > { {\overline V_{f1} } \over {\overline V_{f2} }} \qquad (2)\]
科技同质
规模报酬不变，完全竞争市场
同质需求

要素密集度和要素丰裕度

要素丰裕度：行业

定义：给定要素价格w1/w2，合适的要素投入比率为\({V_{11} \over V_{12} } >{V_{21} \over V_{22} }\)，称X1为V1密集型行业，X2为V2密集型行业
要素丰裕度：国家

如果\({ {\overline V_{h1} } \over {\overline V_{h2} }} > { {\overline V_{f1} } \over {\overline V_{f2} }}\)，则称h是V1要素丰裕国，f是V2要素丰裕国

理论

每个国家会出口密集使用其相对丰裕要素的产品

步骤一：比较优势是间接的。国家间相对要素禀赋差异 + 产品所密集使用的要素差异 = 比较优势
步骤二：国内价格反映了比较优势。每个国家的密集使用其相对丰裕要素的产品的价格都比较低
步骤三：自由贸易价格必然位于两个国内价格之间。在自由贸易中，每个国家会出口密集使用其相对丰裕要素的产品

从图中可以看出，h国是个V1要素丰裕国，f是个V2要素丰裕国

X1密集使用V1，X2密集使用V2（从左图的斜率可以看出）,从等产量线上看，两国并未完全专业化分工。

零利润条件

考虑一个国家

\[ \begin{equation} \begin{bmatrix} c_1(w_1,w_2) \\ c_2(w_1,w_2) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} p_1 \\ p_2 \end{bmatrix} \tag{3} \end{equation} \]

其中，ci代表产品成本，pi代表产品价格，wj代表要素价格，aij代表产品i所使用的要素j数量

\[c_1=a_{11}w_{1}+a_{12}w_{2}=p_1\]

\[c_2=a_{21}w_{1}+a_{22}w_{2}=p_2\]

\[dc_1=a_{11}dw_1+a_{12}dw_2+[w_1da_{11}+w_2da_{12}]=dp_1 \qquad (4)\]

\[dc_2=a_{21}dw_1+a_{22}dw_2+[w_1da_{21}+w_2da_{22}]=dp_2 \qquad (4)\]

aij是最佳选择，这些值的小变化对成本没有影响。

\[ \begin{equation} \begin{bmatrix} dc_1 \\ dc_2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} dw_1 \\ dw_2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} dp_1 \\ dp_2 \end{bmatrix} \tag{5} \end{equation} \]

根据克莱姆法则

\[ \begin{equation} \begin{bmatrix} a_{22}/D & -a_{12}/D \\ -a_{21}/D & a_{11}/D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} dp_1 \\ dp_2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} dw_1 \\ dw_2 \end{bmatrix} \tag{6} \end{equation} \]

复习：所谓克莱姆法则，是求多元线性方程的一种方法，若方程组有解，则\(X_j = {D_j \over D}\)，其中D是未知数构成的系数行列式，Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项（除了系数外全是常数项），而其余各列保持不变所得到的行列式。在上一个方程中，我们其实只要求系数矩阵的逆矩阵就可以了，用伴随矩阵除以矩阵行列式求，可以发现矩阵行列式就是D，所以就会出现上面的结果（矩阵元素所对应的代数余子式，所构成的矩阵，转置后得到的新矩阵,就叫伴随矩阵。在n阶行列式中，把元素\(a_{oe}\)所在的第o行和第e列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素\(a_{oe}\)的余子式，记作\(M_{oe}\)，将余子式\(M_{oe}\)再乘以-1的o+e次幂记为\(A_{oe}\)，\(A_{oe}\)叫做元\(a_{oe}\)的代数余子式。）

因为X1是V1密集型产品，所以

\[{a_{11} \over {a_{12} }}>{a_{21} \over {a_{22} }} \quad a_{11}a_{22}>a_{12}a_{21}\quad a_{11}a_{12}-a_{12}a_{21} \equiv D>0 \qquad (7)\]

令p2=1，dp2=0,

\[{\left[{dw_1}\over {dp_1}\right]}_{dp2=0}={a_{22} \over D}>0 \quad {\left[{dw_2}\over {dp_1}\right]}_{dp2=0}={-a_{21} \over D}<0 \qquad (8)\]

p1相对价格提高，会导致其密集使用的要素V1价格上升，另外一种要素价格V2下降
从而该国各行业都会多使用V2，而减少V1使用量，即：

\[{da_{11} \over dp_1} < 0 \quad {da_{12} \over dp_1}>0 \quad {da_{22} \over dp_1}<0 \quad {da_{22} \over dp_1} \qquad (9)\]

市场出清条件

\[ \begin{equation} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \end{bmatrix} \tag{10} \end{equation} \]

同样求逆矩阵;

\[ \begin{equation} \begin{bmatrix} a_{22}/D & -a_{12}/D \\ -a_{21}/D & a_{11}/D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \end{bmatrix} \tag{11} \end{equation} \]

上下相除得：

\[{X_1 \over X_2}={ {a_{22}-a_{21}{V_2 \over V_1} } \over {-a_{12}+a_{11}{V_2 \over V_1} }}\qquad (12)\]

正式推导

(12)结合(9)式可得：

\[{da_{11} \over dp_1} < 0 \quad {da_{12} \over dp_1}>0 \quad {da_{22} \over dp_1}<0 \quad {da_{22} \over dp_1} \qquad (9)\]

产出比率X1/X2随着p1/p2增加而增加，也即，X1的相对供给随着X1的价格增加而增加
V2要素丰裕国要想开始生产X1，需要p1/p2更高一些。
V2要素丰裕国要想停止生产X2，需要p1/p2再高一些

注意：M是进口的意思

贸易的收入分配效应

封闭导致一个因素的稀缺使得密集使用该因素的产品非常昂贵。贸易使得这种产品更便宜，导致该国生产出的这种产品更少，而更多的产品不使用该要素。这将降低对稀缺因素的需求，并平衡价格。

对于丰富的因素可以做出相反的论证。

贸易增加了稀缺要素的回报，降低了稀缺要素的回报

要素价格均等化定理

Factor-Price-Equalization(FPE)

假设

两国都有相同的、规模报酬不变的科技
贸易无成本而且产品价格相等
两国都生产自由贸易均衡的商品（不完全专业化分工）

理论

(A)如果贸易无成本，那么商品价格在两国是相等的
(B)如果国家不是“完全不同”，那么两国都生产可贸易商品

于是两国的各个要素价格也都相同

单位价值等产量线与单位价值等成本线

对于两个国家，

\[{a_{22} \over a_{21} }>{ {\overline V_2 \over \overline V_1} }>{a_{12} \over a_{11} }\]
相同的技术，商品价格相同\(\Rightarrow\)相同的单位价值等产量线
相同的单位价值等产量线\(\Rightarrow\)相同的等成本线\(\Rightarrow\)FPE
要素禀赋点在\(E^1 or E^2\)

那两条曲线就是各自的等产量线，由于上面的几条推论，所以沿着两条曲线可作一条同时相切的直线，该直线就是等成本线。

等成本线为C = w1V1+ w2V2,很明显该方程是线性的，所以是条直线。

在等产量线与等成本线相切的点，能达到产量最大化；无数条这种切点的连线就是生产扩张线（即图中的\(a_{22} \over a_{21}\)和\(a_{12} \over a_{11}\)），当生产者沿着这条线扩大生产时，可以始终实现生产要素的最优组合。

需要注意的是，要考虑两种产品生产的最优组合，所以根据向量知识，构造一个平行四边形，就可以找到最优生产点了。

世界艾奇沃斯盒(World Edgeworth Box)

在平行四边形外，就是完全专业化分工了。

Rybczynski Theorem

假设和直觉从FPE开始，同时生产两种商品：保持商品价格不变\(\Rightarrow\) 保持要素价格不变\(\Rightarrow\) 保持最佳的aij不变\(\Rightarrow\) 禀赋的变化可以通过产出构成的变化而不是要素价格的变化来吸收
Rybczynski Theorem：在商品价格不变的情况下，要素j的禀赋增加会导致密集使用该要素的商品产出的比例增加，并且其他商品的产出比例会下降。

一般证明

\[ \begin{equation} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \end{bmatrix} \tag{10} \end{equation} \]

对(10)求导可得：

\[a_{11}dX_1+a_{21}dX_2=dV_1={\left[V_{11} \over X_1\right]}dX_1+{\left[V_{21} \over X_2\right]}dX_2\]

\[a_{12}dX_1+a_{22}dX_2=dV_2={\left[V_{12} \over X_1\right]}dX_1+{\left[V_{22} \over X_2\right]}dX_2 \qquad (13)\]

两边同时除以V_1和V_2得：

\[{\left[V_{11} \over V_1\right]}{dX_1 \over X_1}+{\left[V_{21} \over V_1\right]}{dX_2 \over X_2}={dV_1 \over V_1} \qquad (14)\]

\[{\left[V_{12} \over V_2\right]}{dX_1 \over X_1}+{\left[V_{22} \over V_2\right]}{dX_2 \over X_2}={dV_2 \over V_2} \qquad (15)\]

产品i所使用的要素j的比例-\(\lambda_{ij}\)，变量中比例的变化-^

\[ \begin{equation} \begin{bmatrix} \lambda_{11} & \lambda_{21} \\ \lambda_{12} & \lambda_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat X_1 \\ \hat X_2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \hat V_1 \\ \hat V_2 \end{bmatrix} \tag{16} \end{equation} \]

\[ \begin{equation} \begin{bmatrix} \lambda_{22}/D_\lambda & -\lambda_{12}/D_\lambda \\ -\lambda_{21}/D_\lambda & \lambda_{11}/D_\lambda \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat V_1 \\ \hat V_2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \hat X_1 \\ \hat X_2 \end{bmatrix} \tag{17} \end{equation} \]

\[D_\lambda \equiv \lambda_{11} \lambda_{22}-\lambda_{12}\lambda_{21}>0 \quad where \quad {\lambda_{22} \over {\lambda_{11}\lambda_{22}-\lambda_{12}\lambda_{21} }}>0 \quad given \quad 0<\lambda_{ij}<1\]

所以（17）中的映射的幅度和符号如下:

\[ \begin{equation} \begin{bmatrix} >1 & <0 \\ <0 & >1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat V_1 \\ \hat V_2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \hat X_1 \\ \hat X_2 \end{bmatrix} \tag{18} \end{equation} \]

给定\(\hat V_1>0\)，\(\hat V_2=0\) 或 \(\hat V_1=0\)，\(\hat V_2>0\)

The Rybczynski theorem(放大效应)：

\[\hat X_1>\hat V_1>\hat V_2=0>\hat X_2 \qquad \hat X_2>\hat V_2>\hat V_1=0>\hat X_1 \qquad (19)\]

小国开放经济
东南亚发展：高储蓄率和投资率（回落的出生率） \(\Rightarrow\)资本相对丰裕度增加 \(\Rightarrow\)产业向工业化升级

Stolper-Samuelson Theorem

直觉

注意，开放贸易使每个国家向集中使用该国丰富要素的部门转移生产。
问题在于，在不变的要素价格下，不断扩大的部门所要求的要素比例与收缩部门释放的要素比例不同。
与收缩行业相比，扩张行业将需要“太多”的丰富因素和“太少”的稀缺因素。

不变的要素价格不会导致公平的贸易平衡。

在一个不变的要素价格下：X2释放的要素比例为a22/a21；X1需求的要素比例为a12/a11；a12/a11 > a22/a21
由于贸易开放导致价格变化 \(\Rightarrow\)产出的变化 \(\Rightarrow\)对丰富因素的过度需求稀缺因素的供应过剩 \(\Rightarrow\)丰富因素的价格上涨降低稀缺因素的价格

Stolper-Samuelson Theorem:

某一商品相对价格的上升，将导致该商品密集使用的生产要素的实际价格或报酬提高，而另一种生产要素的实际价格或报酬则下降。

简要证明

竞争均衡条件下的边际产品价值

\[w_1=p_1MP_{11}=p_2MP_{21} \quad w_1/p_1=MP_{11}\quad w_1/p_2=MP_{21}\]

\[w_2=p_1MP_{12}=p_2MP_{22} \quad w_2/p_1=MP_{12}\quad w_2/p_2=MP_{22}\]

相对价格p1/p2提高会提高相对要素价格w1/w2，因此会在两个部门提高V2/V1
\(MP_{i1}\)提高而\(MP_{i2}\)降低

\[w_1/p_1 \uparrow\qquad w_1/p_2\uparrow\]

\[w_2/p_1 \downarrow\qquad w_2/p_2\downarrow\]

V1的价格相对于两种商品在上升
V2的价格相对于两种商品在下降
\(\hat w_1>\hat p_1>\hat p_2=0>\hat w_2\)

正式证明

从零利润条件的(5)式开始

将等式系统改写成

\[{\left[V_{11} \over X_1 \right]}dw_1+{\left[V_{12} \over X_1 \right]}dw_2=dp_1 \quad \Rightarrow \quad {\left[{w_1V_{11} } \over {p_1X_1}\right]}{dw_1 \over w_1}+{\left[{w_2V_{12} } \over {p_1X_1}\right]}{dw_2 \over w_2}={dp_1 \over p_1}\]

\[{\left[V_{21} \over X_2 \right]}dw_1+{\left[V_{22} \over X_2 \right]}dw_2=dp_2 \quad \Rightarrow \quad {\left[{w_1V_{21} } \over {p_2X_2}\right]}{dw_1 \over w_1}+{\left[{w_2V_{22} } \over {p_2X_2}\right]}{dw_2 \over w_2}={dp_2 \over p_2} \qquad (20)\]

括号内的式子是每个要素的收益（j）在行业总收入（i）中的份额，用θij表示，并且0 <θij<1。

\[ \begin{equation} \begin{bmatrix} \theta_{11} & \theta_{21} \\ \theta_{12} & \theta_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat w_1 \\ \hat w_2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \hat p_1 \\ \hat p_2 \end{bmatrix} \tag{21} \end{equation} \]

求逆矩阵

\[ \begin{equation} \begin{bmatrix} \theta_{22}/D_\theta & -\theta_{12}/D_\theta \\ -\theta_{21}/D_\theta & \theta_{11}/D_\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat p_1 \\ \hat p_2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \hat w_1 \\ \hat w_2 \end{bmatrix} \tag{22} \end{equation} \]

\[where \quad D_\theta \equiv \theta_{11} \theta_{22} - \theta_{12}\theta_{21}>0 \quad and \quad 0<\theta_{ij}<1 \]

映射的幅度和符号如下:

\[ \begin{equation} \begin{bmatrix} >1 & <0 \\ <0 & >1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat p_1 \\ \hat p_2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \hat w_1 \\ \hat w_2 \end{bmatrix} \tag{18} \end{equation} \]

通过放大关系可以得出SS定理的形式：

\[\hat w_1>\hat p_1>\hat p_2=0>\hat w_2 \qquad \hat w_2>\hat p_2>\hat p_1=0>\hat w_1 \qquad (24)\]

SS定理的政策暗示

贸易政策的变化将会发生政治斗争。

虽然自由贸易导致收入总体增长，但这些收益分配很不均衡。一些因素所有者通常会福利损失这反过来又是保护和自由化政治争议的源头
贸易自由化之后，一个国家的稀缺因素可能会丧失。美国非技术工人与发展中国家的工人竞争是有意义的。
但是，政策选择不仅限于自由贸易与限制贸易，还可能包括自由贸易与各种帮助受到不利影响的工人（教育，培训，搬迁协助）的措施。

总结

一个国家的比较优势，生产和贸易是由与技术相关的潜在要素禀赋决定的。

各国的相对要素禀赋 + 各行各业的相对要素强度 = 比较优势
改变潜在的要素禀赋可能对生产和贸易产生非常有不平衡的影响（Rybczynski）。
亚洲较高的储蓄率和资本形成自然导致资本密集型制造业向亚洲转移。虽然自由贸易导致收入总体增长，但这些收益分配很不均衡。一些因素所有者通常福利收到损失（斯托珀 - 萨缪尔森）。

里昂惕夫之谜

里昂惕夫用这张表中的数字来检验Heckscher Ohlin theorem。每栏显示1947年美国生产或进口美国价值100万美元所需的资本或劳动量。如上一行所示，出口的资本 - 劳动比率低于资本劳动进口比率，这是一个矛盾的发现。

解释

美国和外国的技术与HO定理和里昂惕夫的假设不同。
只关注劳动力和资本，里昂惕夫忽视了美国的土地丰富性。
里昂惕夫应该区分熟练和非熟练的劳动力（因为发现美国的技术劳动密集型出口并不奇怪）。
1947年的数据可能并不常见，因为第二次世界大战仅在两年前结束。
根据HO定理，美国并没有从事完全自由贸易。

新千年的要素禀赋

为了确定一个国家在某个要素上是否充足，我们将该国在这个要素中的份额与其在世界GDP中的份额进行比较。

如果它在一个要素中所占的份额超过了它在世界GDP中的份额，那么我们就得出结论，该国在这个要素上是很丰富的，如果它在某个要素中的份额小于它在世界GDP中的份额，那么我们就得出这个国家在这个要素上是稀缺的。

各国不同的生产力

请记住，在最初的悖论形式中，里昂惕夫发现美国出口劳动密集型产品，尽管当时资本充足。

对这一结果的一种解释是，美国的劳动力生产率很高，世界其他地方的劳动力生产率较低。

如果是这样的话，那么美国有效的劳动力即劳动力乘以其生产力（衡量劳动力生产能力的多少），远远大于我们只计算人数的情况。

为了让生产要素区分国家间的生产率，我们将有效要素禀赋定义为一个国家的实际生产要素量乘以其生产率：

**有效要素禀赋 = 实际要素禀赋*要素生产率**

为了确定一个国家是否有一定的要素，我们将该国在这一有效要素中的份额与其在世界GDP中的份额进行比较。

如果它在有效要素中所占份额超过世界国内生产总值的份额，那么我们得出结论认为，该国在这一有效要素方面是充裕的;

如果它在有效要素中所占份额低于世界国内生产总值的份额，那么我们就认为该国在这一有效要素上是稀缺的。

Effective R&D Scientists

Effective R&D scientists = Actual R&D scientists • R&D spending per scientist

China was abundant in R&D scientists in 2000 (since it had 14% of the world’s R&D scientists as compared with 11% of the world’s GDP) but scarce in effective R&D scientists (because it had 7% of the world’s effective R&D scientists as compared with 11% of the world’s GDP).

The United States was scarce in arable land when using the number of acres (since it had 13% of the world’s land as compared with 22% of the world’s GDP) but neither scarce nor abundant in effective land (since it had 21% of the world’s effective land, which nearly equaled its share of the world’s GDP).

U.S. Food Trade and Total Agricultural Trade, 2000–2009

该表显示自2000年以来美国食品贸易在正负净出口之间波动，这与我们发现美国既不丰富也不稀少的情况一致。

但是，农业贸易总量（包括棉花等非食品）净出口为正。

如图所示，各国的工资与劳动生产率密切相关。我们用劳动所得的工资来衡量每个国家的劳动生产率。那么在每个国家有效劳动量等于劳动量乘以工资。