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博弈论, 委托-代理人理论, 完全信息, 完美信息, 纳什均衡, 重复博弈

2019-10-20

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博弈论

文章目录

1. 导论
2. 完全信息静态博弈
3. 完全且完美信息动态博弈
1. 3.1. 委托人-代理人理论
2. 3.2. 颤抖手均衡
4. 重复博弈
5. 完全但不完美信息动态博弈
6. 不完全信息静态博弈
7. 不完全信息动态博弈
1. 7.1. 连续变量期望
8. 博弈学习和进化博弈论

导论

囚徒的困境是图克（Tucker）1950年提出的

破坏者：其策略选择对自身利益没有影响，却对其他博弈方有很大影响的博弈方。（例：奥运申办）

博弈的根本特征是策略的相互依存性

完全信息静态博弈

分析方法

上策：如果不管其他博弈方选择什么策略，一博弈方的某个策略带给他的得益至少不低于其他策略。这种策略即上策。

上策均衡：一个策略组合的所有策略都是各博弈方各自的上策，这种策略组合为该博弈的“上策均衡”

严格下策：不管其他博弈方的策略如何变化，某种策略给一博弈方带来的得益总比另一种策略小，则称前一种策略为相对于后一种的严格下策。

严格下策反复消除法。

划线法：选定对手某一策略，在该策略下自己的最优策略画条线，得益数组两个数字都画上线时，该策略组合具有稳定性，可能是博弈的结果。

箭头法：只有指向而无指离的策略组合具有稳定性。

纳什均衡

在一个博弈过程中，无论对方的策略选择如何，当事人一方都会选择某个确定的策略，则该策略被称作支配性策略。如果两个博弈的当事人的策略组合分别构成各自的支配性策略，那么这个组合就被定义为纳什均衡。

上策均衡肯定是纳什均衡，但纳什均衡不一定是上策均衡。

纳什均衡的性质：一致性预测，所有博弈方都不会选择与预测不一致的策略。只有纳什均衡才有这样的性质。

纳什均衡，或者说非合作博弈的结果，可能是低效率的。

无限策略博弈分析和反应函数

古诺模型：产量竞争

伯特兰德模型：价格竞争

伯特兰德中，产品具有同质性，但又不是完全可替代

两个厂商各自的需求函数为：

\[q_1=a_1-b_1P_1+d_1P_2\]

\[q_2 = a_2-b_2P_2+d_2P_1\]

d1d2即两个厂商产品的替代系数。

混合策略和混合策略纳什均衡

混合策略纳什均衡必须让对方两个纯策略纳什均衡期望得益相同。（P53）

所以算期望得益的时候只需算一个己方策略的得益即可。

混合策略也可用严格下策反复消去法

纳什均衡的存在性

每个有限博弈都至少有一个混合纳什均衡。

帕累托上策均衡：某个纳什均衡给所有博弈方带来的利益都大于其他纳什均衡。

风险上策均衡：如果所有博弈方在预计其他博弈方采用各种策略的概率相同时，某一策略给他带来的期望得益最大，各博弈方都偏爱这样的策略的策略组合，就称之为风险上策均衡。自我强化机制：偏好风险上策均衡时会进一步降低帕累托上策均衡。

聚点和相关均衡

聚点均衡：地理分组

完全且完美信息动态博弈

子博弈不能包括原博弈第一阶段

子博弈完美纳什均衡：如果一个策略在整个博弈和它的所有子博弈中都构成纳什均衡

不在均衡路径上的选择：不能实现的策略

逆推出来的各阶段最优选择，一定是子博弈完美纳什均衡。

斯塔克伯格模型：动态的市场均衡产量博弈。需要把第二阶段的反应函数直接代入第一阶段的得益函数。

委托人-代理人理论

是否努力，是否接受（工作），是否委托。

无不确定性；有不确定性但可监督；有不确定性且不可监督。

颤抖手均衡

必须是纳什均衡，偏离对偏离者没有损失的策略。（对某一方来说可以有偶然偏误，可以尝试计算混合策略均衡，如果某一方没有混合策略，那么其对手就没有颤抖手均衡）

蜈蚣博弈：博弈阶段越长，合作可能性越大。

重复博弈

无限次重复博弈的每阶段得益都是\(\overline \pi\)时，有：

\[\overline \pi / (1-\delta)=\sum_{t=1}^{\infty}\delta^{t-1}\pi_t\]

如果原博弈有唯一的纯策略纳什均衡，则有限次重复博弈唯一子博弈完美纳什均衡，即各博弈方每次重复时都采用原博弈的纳什均衡策略。

多个纯策略纳什均衡的有限次重复博弈：试探合作与触发装置。

完全但不完美信息动态博弈

完美贝叶斯均衡：在静态博弈中就是纳什均衡，加上概率判断即可（例-练习册P151）

贝叶斯法则：

\[p(g|s)={p(g)·p(s|g)\over p(s)}={p(g)·P(s|g)\over p(g)·p(s|g)+p(b)·p(s|b)}\]

市场完全失败：所有卖方都不敢卖；市场完全成功：只有好商品的卖方将商品投放市场；市场部分成功：好坏都卖，卖方都买；市场接近失败：好商品全卖，坏商品部分卖，买方随机买。

柠檬原理：信息不完美且消费者缺乏识别能力的市场中，劣质品赶走优质品，最后搞垮整个市场的机制。

逆向选择：同样信息不完美且消费者缺乏识别能力的市场中，当价格可变时，市场不断向低端发展的机制。

市场类型归纳（P185）

改善市场效率，消除信息不完美性：加大监管和处罚力度（对管理部门的处罚）；昂贵的承诺。

不完全信息静态博弈

至少一个博弈方不完全清楚其他某些博弈方得益情况，只知道相关概率

贝叶斯纳什均衡：在不完全信息静态博弈中的纳什均衡。是完美贝叶斯均衡的特殊形式

暗标拍卖（P201）

线性策略均衡（P207）

练习册P161

不完全信息动态博弈

声明博弈

信号博弈

连续变量期望

\[f(x),x\in (a,b)\]

则，f(x)期望是\(E_f=\int_a^bf(x){1\over b-a}\)

\({1\over b-a}\)是概率密度函数

博弈学习和进化博弈论

最优反应动态：对自身情况较为了解，缺乏预测对手能力，只能根据对手当前情况作出反应。如古诺调整

虚拟行动：同样缺乏预见能力，但能根据历史行为形成判断对手策略的主观概率分布

复制动态：

\[{dx_1(t)\over dt}/x_1(t)=u_1-\overline u\]

策略1种群比例的增长率等于该策略得益与种群平均得益之差。\(x_1(t)\)即占比

进化稳定策略（ESS）（P264）,ESS必定是相应完全理性博弈的纳什均衡，否则就缺乏基本的稳定性。

非对称的ESS必须都是纯策略的。